Оценка стоимости европейских опционов на купонные облигации

Предполагается, что краткосрочная процентная ставка определяется стохастическим дифференциальным уравнением

причем в любой момент времени т при увеличении краткосрочной процентной ставки уменьшаются стоимости всех облигаций с нулевым купоном.

Рассмотрим европейский опцион колл на купонную облигацию, по которой после даты истечения опциона T* обещают выплатить денежные суммы

Обозначим через rх значение краткосрочной процентной ставки в момент Т*, при котором стоимость рассматриваемой облигации в этот момент совпадает с ценой исполнения опциона X.

Из данного соотношения следует, что при отсутствии арбитражных возможностей стоимость европейского опциона колл на купонную облигацию должна совпадать со стоимостью портфеля, содержащего qi (i = 1, 2…., n) европейских опционов колл с ценой исполнения X1 = рTi (T*, rx) на облигацию номиналом 1 долл. с нулевым купоном, дата погашения которой Ti.

Таким образом, чтобы оценить стоимость европейского опциона колл на купонную облигацию, необходимо:

1. определить значение краткосрочной процентной ставки гx, при котором стоимость купонной облигации в момент истечения опциона Т равна цене исполнения этого опциона X;
2. найти стоимость облигации с нулевым купоном pT (Т*, rх), i = 1, 2…., n, в момент Т* если номинал облигации равен 1 долл., дата погашения облигации Тi, а краткосрочная процентная ставка в момент Т равна rx;
3. оценить стоимость европейского опциона колл с ценой исполнения Xi = pT
   i (Т*, rх)  на облигацию номиналом 1 долл. с нулевым купоном, дата погашения которой Тi, i = 1, 2…. n;
4. стоимость европейского опциона колл на купонную облигацию найти в виде линейной комбинации стоимостей опционов на облигации с нулевым купоном.

Замечание. Аналогичным образом находится стоимость европейского опциона пут на купонную облигацию.