Модель управления активами и пассивами (ALM)

Для построения моделей, учитывающих возможности будущей перестройки портфеля финансовых инструментов, используется подход, основанный на методе многоэтапного стохастического программирования (multistage stochastic programming). Первые работы, посвященные этому направлению, появились более двух десятилетий назад. Данный подход получил название управление активами и пассивами (asset and liability management – ALM).

Концепция АLМ предполагает, что состояние портфеля рассматривается в фиксированные моменты времени t ∈ {1, 2….. Tmax}. Первый момент соответствует текущей дате; последний момент времени Tmax называется горизонтом планирования. Как правило, несколько первых выбранных моментов расположены ближе друг к другу, чем последующие. Например, может быть выбрано следующее множество моментов времени: текущий день, конец текущего месяца, конец текущего квартала, конец текущего года, конец пятилетия.

В каждый из моментов времени t ∈ {1, 2…..Tmax– 1} инвестор принимает решения, касающиеся структуры портфеля, а также его финансовых целей. Существуют факторы неопределенности, которые могут принимать случайные значения в каждый из моментов времени t ∈
{2….. Tmax}.

К числу таких факторов относятся доходности финансовых инструментов, процентные ставки, кросс-курсы валют, поступления средств и платежи по финансовым инструментам. В модели ALM генерируются сценарии изменения случайных факторов, которые имеют древовидную структуру (рис. 1).

Генерация сценариев – чрезвычайно важный аспект модели управления активами и пассивами, от которого зависит адекватность результатов оптимизации. Сценарии, используемые при оптимизации, не рассматриваются в качестве наилучшего прогноза будущего. Однако выбранное множество сценариев должно объективно отражать возможности будущего изменения экономической ситуации, учитывать все возможные обстоятельства, которые могут повлиять на динамику портфеля.

Как правило, для генерации сценариев разрабатывается статистическая модель, основанная на исторических данных. Кроме этого, возможно использование экспертной информации. В последнем случае эксперт назначает вероятности значений факторов риска для каждого момента времени из t ∈ {2….. Tmax} или непосредственно задает какой-либо сценарий.

Рис. 1. Пример дерева сценариев

Модель генерации сценариев должна учитывать зависимость между рассматриваемыми экономическими переменными. Например, прибыль по облигациям должна быть согласована с соответствующим уровнем процентных ставок. Важным требованием к множеству сценариев является отсутствие арбитражных возможностей. Если это требование не выполняется, то в результате оптимизации получается портфель, ориентированный на случайные эффекты выбранного множества сценариев.

Вероятностная модель генерации сценариев должна учитывать статистические особенности исторических данных, в частности тяжелые «хвосты» распределений. Распределение доходности акций имеет тяжелые «хвосты», которые хорошо описываются распределением Фреше. Джэкверт и Рубинштейн разработали метод для оценки представления рынка о «хвостах» распределения на основе котировок опционов с различными ценами исполнения в один и тот же момент времени. Применение метода для индекса S&P 500 показало высокую степень «тяжести» «хвостов» для будущих возможных значений этого индекса.

Значения факторов неопределенности на каждом шаге управления портфелем влияют на выбор соответствующих инвестиционных решений. При решении задачи учитываются и предстоящие поступления средств, а также обязательные платежи. Обозначим через Xsjf суммарную стоимость инструментов j-го типа в портфеле в момент времени t в случае реализации s-го сценария. Величина Xsjfположительна в случае покупки инструмента и отрицательна в случае его продажи.

Два основных уравнения должны обязательно присутствовать в динамической модели оптимизации портфеля. Стоимость позиций по финансовым инструментам должна удовлетворять соотношениям:

Поскольку набор сценариев имеет древовидную структуру, то должны выполняться также соотношения

для любых двух сценариев s1 и s2, которые совпадают вплоть до момента t.

В качестве цели оптимизации портфеля в модели ALM, как правило, выбирается максимум математического ожидания функции полезности вида, где WTmax – стоимость портфеля в конце горизонта планирования.

Значение этой функции зависит от переменных, представляющих решения инвестора в различные выбранные моменты времени в будущем. Используя вероятности осуществления различных сценариев, можно свести задачу к детерминированной. С ростом количества рассматриваемых моментов времени число переменных задачи возрастает экспоненциально.

Методы решения задачи АLМ можно разделить на три группы.

1. Прямые алгоритмы, основанные, главным образом, на методах внутренней точки .
2. Методы, основанные на декомпозиции Бендерса.
3. Методы, основанные на расширенных лагранжианах.

Все алгоритмы используют древовидную структуру сценариев для сокращения перебора. В настоящее время удается решать задачи ALM, содержащие более 10 000 сценариев. Важно, что зависимость времени решения от числа сценариев оказывается линейной.