Подход на основе внутренних моделей банков. Верификация моделей расчета VaR по историческим данным

Важнейшей аналитической функцией отдела риск-менеджмента является регулярная верификация (оценка адекватности) внутренней модели банка по историческим данным (backtesting) с целью проверки ее прогнозной точности и внесения необходимых изменений. Общие требования, предъявляемые к процедуре проверки адекватности моделей, изложены в специальной инструкции Базельского комитета.

Верификация VaR-модели по историческим данным осуществляется путем ретроспективного анализа, заключающегося в подсчете частоты случаев превышения (outliers) фактическими дневными убытками прогнозных значений VaR за продолжительный период времени в прошлом (рис. 1). Как ожидается, на протяжении всего периода тестирования модели величина VaR должна превосходить понесенные убытки с относительной частотой, задаваемой доверительным интервалом модели.

С целью стандартизации данной процедуры Базельский комитет предписывает банкам ежеквартально проводить оценку точности внутренних моделей по выборке из предшествующих 250 дней торгов с использованием доверительного интервала в 99 % и горизонта прогнозирования в один день в качестве нормативных параметров расчета VaR.

Рис. 1. Принцип верификации VaR-модели по историческим данным

Необходимость в специальной верификации модели по историческим данным возникает в силу того, что банки не могут использовать для этой цели непосредственно свои оценки 10-дневного VaR, которые они рассчитывают каждый день в целях поддержания достаточности капитала. Это объясняется тем, что сравнивать прогнозную величину VaR, рассчитанную в начале 10-дневного периода, с финансовым результатом за этот же период времени было бы некорректно из-за значительных изменений в структуре портфеля, которые, вероятно, произойдут в течение этих 10 дней.

Именно поэтому банк должен заново рассчитать с использованием одной и той же внутренней модели величину VaR на каждый день из предшествующих 250 дней торгов, но уже с горизонтом прогнозирования в один день.

Тем не менее изменения в структуре портфеля возможны и в течение одного торгового дня, а на финансовый результат от торговых операций могут оказывать влияние суммы полученных брокерами комиссионных вознаграждений (в частности, от продажи новых финансовых инструментов), которые не имеют отношения к риску, связанному со структурой неизменного портфеля и отражаемому показателем VaR.

Ввиду этого Базельский комитет рекомендует банкам проводить верификацию моделей путем сравнения величины VaR, рассчитанной на один день, как с реальными прибылями и убытками от торговой деятельности, так и с теоретическим финансовым результатом, рассчитываемым как изменение рыночной стоимости портфеля при условии неизменности его структуры в течение дня. Первый из указанных подходов иногда называют «грязной» верификацией (dirty backtesting), а второй – «чистой» верификацией (clean backtesting).

Метод «чистой» верификации является наиболее предпочтительным с точки зрения статистического оценивания адекватности VaR-моделей, и не случайно, что, например, в ФРГ орган надзора может ввести максимальную надбавку (S = 1) к нормативному множителю, если банк проводит только «грязную» верификацию своей VaR-модели, используемой для расчета требуемого капитала.

Процедура проверки точности модели по методике Базельского комитета представляет собой статистический тест на отклонение фактической частоты превышений убытками дневной величины VaR от заданной вероятности 1 %, основанной на вычислении вероятностей ошибки I рода (отклонение адекватной модели) и ошибки II рода (принятие неадекватной модели). Для оценки прогнозной точности модели производится подсчет числа дней, когда фактические убытки от изменений стоимости портфеля превосходили прогнозные значения VaR за последние 250 дней торгов.

Так, при доверительном интервале 99 % и 250 днях тестирования полностью адекватная модель должна показывать в среднем 2,5 превышения величины VaR, которые можно объяснить «нормальными» колебаниями рынка. При росте числа превышений по сравнению с ожидаемым повышается и вероятность того, что используемая модель является неадекватной, т. е. в среднем занижает величину VaR.

Поскольку для каждого дня из интервала тестирования возможны только два исхода (убытки либо превышают прогнозную величину VaR, либо нет), для расчета вероятностей ошибок I и II рода используется биномиальный критерий (схема Бернулли). Если обозначать через n общее количество дней в интервале тестирования, k – количество случаев превышения на интервале тестирования (0 ≤ k ≤ n), p – вероятность любого отдельного случая превышения, то вероятность того, что на всем интервале тестирования общее количество превышений (X) для адекватной модели (р = 1 %) будет равно в точности k, составляет:

Аналогично вероятность того, что адекватная модель даст k или менее превышений, равна

Таким образом, вероятность того, что адекватная модель покажет k или более превышений на интервале тестирования и на основании этого будет отклонена (ошибка I рода – type I error), составляет:

Для неадекватной модели, реальный доверительный интервал которой известен (т. е. известна вероятность любого отдельного случая превышения p’, отличная от 1 %), можно определить вероятность ошибочного принятия такой модели при числе превышений, меньшем k. Эта величина называется вероятностью ошибки II рода (type II error) и определяется следующим образом:

В основу подхода Базельского комитета к классификации моделей по их адекватности положен так называемый «принцип светофора». В зависимости от количества превышений модель может быть отнесена к одной из трех зон: зеленой – для адекватных моделей (не более 4 превышений за 250 дней), желтой – для сомнительных моделей (от 5 до 9 превышений) или красной – для неадекватных моделей (10 и более превышений). Желтая зона начинается с 5 превышений, при этом кумулятивная вероятность большего числа превышений для адекватной модели составляет менее 5 %, а для красной зоны, начинающейся с 10 превышений, эта вероятность уже не превышает 0,01 % (рис. 2). Попадание модели в последние две зоны будет означать, что ее реальный доверительный интервал, по всей вероятности, меньше, чем предписанные 99 %.

Рис. 2. “Принцип светофора” (зоны адекватности моделей для n = 250 дней, p = 1%)

При попадании модели в зеленую зону множитель для расчета размера капитала, резервируемого против рыночного риска, остается равным 3. Для моделей из желтой зоны к множителю добавляется штрафная надбавка (8), увеличивающая его значение с 3,4 до 3,85 в зависимости от числа превышений (табл. 1). Если же модель относится к красной зоне, то штрафная надбавка составляет 1, а множитель возрастает до максимального значения, равного 4. В этом случае орган надзора может применить и другие санкции, включая требование пересмотра модели, ограничения на операции с торговым портфелем банка и т. д.

Таблица 1

Смысл установления надбавок к нормативному множителю в зависимости от числа превышений заключается в корректировке модели путем увеличения требований к капиталу до такого уровня, который соответствовал бы адекватной модели с доверительным интервалом 99 %. Как известно, для адекватной модели на базе нормального распределения с доверительным интервалом 99 % дневная величина VaR равна 2,326 средних квадратических отклонений стоимости портфеля. Например, если при тестировании модели было отмечено 7 случаев превышения величины VaR за последние 250 дней торгов, то фактический доверительный интервал этой модели составляет 1 – 7/250 = 97,2 %, что соответствует лишь 1,911 средним квадратическим отклонениям.

Для того чтобы рассчитать величину VaR, соответствующую 99-й процентили, необходимо умножить величину VaR неадекватной модели на корректирующий коэффициент a, равный 2,326/1,911 = 1,22. Поскольку для адекватной модели размер собственного капитала устанавливается путем умножения величины VaR на 3, итоговая надбавка к этому коэффициенту для неадекватной модели с 7 превышениями будет составлять: