Решение систем линейных уравнений с использованием матриц

Многочлен — это алгебраическое выражение, которое является суммой опреде- ленного количества элементов. Многочлен с одним элементом называется одночленом, с двумя элементами — двучленом, с тремя — трехчленом и т. д. Вы- ражение 4 * А ^ 3 + А ^ 2 + А + 2 является многочленом, имеющим четыре члена. Члены отделены знаком (+).

Многочлены имеют различные степени. Степень многочлена определяется значением наибольшей степени любого из элементов. Степенью элемента явля- ется сумма показателей переменных, содержащихся в элементе.

Показанное вы- ше выражение является многочленом третьей степени, так как элемент 4 * А ^ 3 имеет третью степень, а это — наивысшая степень среди всех элементов данного многочлена. Если бы элемент был равен 4 * А ^ 3 * В ^ 2 * С, мы получили бы многочлен шестой степени, так как сумма показателей переменных (3 + 2 + 1) равна 6.

Многочлен первой степени называется также линейным уравнением и графиче- ски задается прямой линией. Многочлен второй степени называется квадратным уравнением и на графике представляет собой параболу. Многочлены третьей, четвертой и пятой степени называются соответственно кубическим уравнением, уравнением четвертой степени, уравнением пятой степени и т. д.

Графики многочленов третьей степени и выше довольно сложны. Многочлены могут иметь любое число элементов и любую степень, но мы будем работать только с линейными уравне- ниями, т. е. многочленами первой степени.

Решить систему линейных уравнений можно с помощью процедуры Гаусса–Жор- дана, или, что то же самое, метода гауссовского исключения.

Чтобы использовать этот метод, мы должны сначала создать расширенную матрицу, объединив матрицу коэффициентов и столбец свободных членов. Затем следует произвести элементарные преобразования для получения еди- ничной матрицы. С помощью элементарных преобразований мы получаем более простую, но эквивалентную первоначальной матрицу. Элементарные преобразования производятся посредством построчных операций (мы опишем их ниже).

Единичная матрица, полученная с помощью построчных операций, эквива- лентна первоначальной матрице коэффициентов. Ответы для нашей системы уравнений можно получить из крайнего правого вектора-столбца. Единица в первой строке единичной матрицы соответствует переменной Х1, поэтому значе-

ние на пересечении крайнего правого столбца и первой строки будет ответом для Х1. Таким же образом на пересечении крайнего правого столбца и второй строки содержится ответ для Х2, так как единица во второй строке соответству- ет Х2. Используя построчные операции, мы можем совершать элементарные преобразования в первоначальной матрице, пока не получим единичную матрицу.

Из единичной матрицы можно получить ответы для весов Х1, . . ., ХN — компо- нентов портфеля. Найденные веса дадут портфель с минимальной дисперсией V для данного уровня ожидаемой прибыли Е¹.

Можно проводить три типа построчных операций:

1. Поменять местами любые две строки.
2. Умножить любую строку на ненулевую постоянную.
3. Любую строку умножить на ненулевую постоянную и прибавить к любой другой строке.