Последующие производные нормального распределения

Иногда требуется знать вторую производную функции N(Z). Так как функция N(Z) дает нам значение площади под кривой при Z, а функция N'(Z) дает нам высоту самой кривой при значении Z, тогда функция N”(Z) дает нам мгновенный наклон (instantaneous slope) кривой при данном значении Z:

N”(Z) = –Z / 2,506628274 * EXP(–(Z ^ 2) / 2),                           (3.23)

где ЕХР() — экспоненциальная функция.

Найдем наклон кривой N'(Z) при +2 стандартных отклонениях: N”(Z) = –2 / 2,506628274 * EXP(–(+2 ^ 2) / 2) = –2 / 2,506628274 * EXP(–2) = –2 / 2,506628274 * 0,1353353 = –0,1079968336.

Теперь мы знаем, что мгновенная скорость изменения функции N'(Z) при Z = +2 равна –0,1079968336. Это означает повышение/понижение за период, поэтому, когда Z = +2, кривая N'(Z) повышается на –0,1079968336. 

Последующие производные даются далее для справки. Они не будут использоваться в оставшейся части книги и представлены для полноты освещения темы:

N”'(Z) = (Z ^ 2 – 1) / 2,506628274 * EXP(–(Z ^ 2) / 2);                  (3.24)

N””(Z) = ((3 * Z) – Z ^ 3) / 2,506628274 * EXP(–(Z ^ 2) / 2);              (3.25)

N””'(Z) = (Z ^ 4 – (6 * Z ^ 2) + 3) / 2,506628274 * EXP(–(Z ^ 2) / 2).  (3.26)

Реальная форма нормального распределения показана на рис. 3.14. Отметьте, что здесь масштабы двух осей одина- ковы, в то время как в других графических примерах они отличаются для при- дания более вытянутой формы.