Множества. Операции над множествами

Множество (set) – это совокупность некоторых объектов. Объекты, из которых состоит множество А, называют элементами этого множества.

Если а является элементом множества А, то пишут а ∈ А.

Задать множество можно, либо перечислив все его элементы, либо указав характеристическое свойство, которому должны удовлетворять все элементы этого множества.

Например, запись А = {a1, a2, a3, a4} означает, что множество А состоит из элементов a1, a2, a3, a4.

Множество В всех действительных чисел, удовлетворяющих неравенству х2 – 2х + 3 ≤ 0, можно записать следующим образом:

где R – множество всех действительных чисел.

Множество А называют подмножеством (subset) множества В, если каждый элемент множества А является элементом множества В (рис. 1).

Рис. 1. Подмножество

Если множество А является подмножеством множества В, то пишут А ⊂ В. Например, множество А = {1, 2, 3} является подмножеством множества В = {1, 2, 3, 4, 5}. Множество Z всех целых чисел является подмножеством множества R всех действительных чисел.

Разностью А\В двух множеств А и В называют множество всех элементов А, не попавших в множество В (рис. 2).

Рис. 2. Разность множеств

Если В ⊂ А, то разность А\В называют дополнением множества В до множества А. Например, если А = {1, 2, 3, 4}, а В = {3, 4, 5, 6}, то А\В = = {1, 2}.

Пересечением двух множеств А и В называют множество, обозначаемое А ∩ B, все элементы которого принадлежат как множеству А, так и множеству В (рис. 3).

Рис. 3. Пересечение множеств

Например, если А = {1, 2, 3}, а В = {1, 3, 4, 5}, то А ∩ В = {1, 3}.

Если множества А и В не содержат общих элементов, то говорят, что они не пересекаются, и пишут A ∩ B = ∅ (∅ – символ пустого множества).

Аналогично можно определить пересечение трех, четырех и более множеств. В частности, множество является совокупностью всех элементов, принадлежащих каждому из множеств А1, А2…., Аi…..

Объединением двух множеств А и В называют множество, обозначаемое А ∪ B, все элементы которого принадлежат хотя бы одному из множеств А и В (рис. 4).

Рис. 4. Объединение  множеств

Например, если А = {1, 2, 3, 4}, а В = {3, 4, 5, 6}, то А ∪ В = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Точно так же определяется объединение трех, четырех и более множеств. В частности, множество         – это совокупность всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств А1, А2…., Аi…..