Важнейшие виды случайных процессов

Случайное блуждание

Сечением случайного блуждания в момент времени t0+ kh является дискретная случайная величина, закон распределения вероятностей которой имеет вид:

Траектории случайного блуждания изображены на рис. 1 (точками выделена одна из траекторий).

Рис. 1. Траектории случайного блуждания

Случайное блуждание α (w, t) обладает независимыми приращениями, причем

Биномиальная модель

Случайный процесс β(w, t), определенный на множестве

называется биномиальной моделью (binominal model), если

Сечением биномиальной модели в момент времени t0+ kh является дискретная случайная величина, закон распределения вероятностей которой имеет вид:

Траектории биноминальной модели изображены на рис. 2.

Если случайный процесс β (w, t) является биномиальной моделью с параметрами u, d, p, то

Приращения биномиальной модели, вообще говоря, не являются независимыми. Однако случайный процесс ln β (w, t) имеет независимые приращения.

Рис. 2. Траектории биноминальной модели

Случайное блуждание и биноминальная модель относятся к случайным процессам с дискретным временем (discrete time process). Важнейшим примером случайного процесса с непрерывным временем (continuous time process) является винеровский случайный процесс.

Винеровский случайный процесс

Случайный процесс w(w, t), определенный на промежутке [t0, +∞), называется винеровским случайным процессом (Wienerprocess), если выполняются следующие условия:

Для моделирования траекторий винеровского случайного процесса w (w, t) на заданном промежутке времени [t0, Т] можно применить метод Монте-Карло.

Сам винеровский случайный процесс редко используется для моделирования финансовых показателей, так как имеет постоянное математическое ожидание. Однако на основе винеровского процесса строятся почти все случайные процессы, используемые в настоящее время для моделирования различных финансовых показателей.