Методика изучения устных и письменных табличных и вне табличных приёмов умножения

Подготовительная работа – начинается с первых уроков в 1 классе. Она связана с реализацией и расшифровкой следующего пункта программы для этого класс «нахождение суммы одинаковых слагаемых и представление числа в виде суммы одинаковых слагаемых».

Задание:

1. Систематические упражнения в счете сначала двойками, тройками, четверками, а в дальнейшем семерками, восьмерками, девятками ( как в устном так и в письменном счете).

Например:

• Посчитай тройками.
• Запиши ряд чисел по правилу – каждое число следующее на 5 больше предыдущего;
  По какому правилу записан ряд чисел : 4, 8, 12, 16, 20?

2. Нахождение суммы одинаковых слагаемых. Например:

Найдите сумму:

2 + 2 + 2 15 + 15 + 15 11 + 11 + 11 + 11
7 + 3 + 7 9 + 9 + 9

Разбей записанные суммы на 3 группы:

• с одинаковыми (разными слагаемыми)
• по количеству слагаемых (с 3 и 4 слагаемыми)
• по виду слагаемых (однозначные – двузначные; четные – нечетные)

Выпиши суммы с одинаковыми слагаемыми:

(2 + 2 + 2 9 + 9 + 9 15 + 15 + 15 11 + 11 + 11 + 11)

• Назовите число, которое берется слагаемым (2, 9, 15, 11)
• Сколько раз число 2(9, 15,11) берется слагаемы (3(4)).

В работе с такими умами обращаем внимание на то, что слагаемы одинаковы, выясняется какое число берется слагаемым и сколько раз оно берется слагаемым, чему равна сумма.

1. Практические упражнения с предметными множествами. Например: Положили по 2 кружка 3 раза. Сколько всего кружков положили?

1. Решение задач практического содержания, связанных с жизнью, бытом.

При решении текстовых задач, сопровождаемых, каждый раз иллюстрацией ставятся те же самые вопросы. Внимание детей каждый раз обращается на то, что слагаемые одинаковые, какое число берется слагаемым и сколько раз.

Конкретный смысл. Можно опираться на задачи и рисунки, данные в учебнике, а можно предложить свои задачи.

Особенности задач: можно легко обнаружить одинаковые слагаемые, встречающиеся величины д.б. хорошо знакомы учащимся и допускать наглядную иллюстрацию.

2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10 (руб.) 7 + 7 + 7 = 21 (д.)

Что особенного в обеих суммах? (одинаковые слагаемые) 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 2 ∙ 5. Какое число берется слагаемым? (2) Сколько раз? (5). Это действие сложения одинаковых слагаемых можно заменить другим действием – умножением и эту длинную запись можно свернуть, записать короче, для этого мы должны знать, как обозначается действие умножение «∙», при переносе с одной строки на другую «х».

Мы выяснили. что число 2 берется слагаемым, на первое место запишем число 2, ставим знак умножения, на втором месте записываем число 5, которое показывает сколько раз взято число 2 слагаемым. Какое действие мы называем умножением? (определение формулирует учитель), читает запись: 2 умножить на 5, по 2взяли 5 раз, дважды пять. Аналогично для 7 + 7 + 7 = 7 ∙ 3.

Все слагаемые одинаковые. Поэтому сложение можно заменить умножением. Как записать действие? Какое число взять слагаемым? (пишет на первом месте 7) Сколько раз 7 взяли слагаемым? (пишет на втором месте 3) Читаю: 7 умножить на 3, по 7 взяли 3 раза. Обратить внимание на то, что показывает первое и второе число в записи действия (1- какое число взяли слагаемым, 2- сколько раз).

Необходимо и без дидактического материала произвести замену действия сложения умножением и наоборот:

3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 3 ∙ 8
2 ∙ 4 = 2 + 2 + 2 + 2

При выполнении умножений на закрепление, учащимся предлагается следующие задачи:

Замени сложение умножением:

8 + 8 + 8 + 8 71 + 17 + 17 15 + 15

Вывод: не всякое сложение можно заменить умножением (нельзя, если не все слагаемые одинаковые). Замени умножение сложением и вычисли результат: 5 ∙ 3; 10 ∙ 2. В дальнейшем изучается терминология, связанная с этим действием: название чисел при умножении и различные способы чтения новых выражений.

Как называются числа при умножении? Числа, которые умножаются, называются множителями. 5 – 1 множитель, 3 – 2 множитель. Все это выражение называется произведением. 15 – результат умножения (значение произведения).

Что показывает первый множитель? Второй? Для усвоения смысла умножения полезно использовать приемы сравнения, выбора, преобразования предлагая различные виды упражнения.

Табличное умножение однозначных чисел.

Таблица умножения однозначных чисел. Сначала учащиеся знакомятся с общим приемом составления таблицы умножения на примере числа 2. Этот приём основан на конкретном смысле умножения. Если так, то необходимо обратить внимание на получение каждого следующего результата таблиц. Сначала рассматривается таблица «Умножение числа 2».

Учащимся предлагается умножение заменить сложением:

2 + 2 = 4 2 ∙ 2 = 4
2 + 2 + 2 = 6 (4+2) 2 ∙ 3 = 6
2 + 2 + 2 + 2 = 8 (4+4) 2 ∙ 4 = 8
2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10 (4+4+2=8+2) 2 ∙ 5 = 8

Выясним, какое число взяли слагаемым во всех суммах. (2) Вывод: т.е. слагаемое не изменяется. А что изменяется в этих суммах? (Число слагаемых, количество слагаемых). Как это число изменяется? (становится больше, увеличивается на 1). А что происходит со значением суммы? (Увеличивается на 2) Значит, произведение тоже увеличивается на 2. Учащиеся сначала на основе общего приема составляют таблицу. «Умножение числа 2 на 3,4,….9». Затем на основе переместительного закона умножения составляют таблицу «Умножение на число 2».

Переместительный закон умножение вводится после общего приема составления таблицы «Умножение числа 2». Этот закон формируется. Фор мулировка заучивается, в дальнейшем вводится буквенная запись: а ∙в = в ∙ а. Необходимо использовать наглядность.

Составление таблицы умножения. Таблица должна составляться на глазах детей, чтобы они уловили принцип ее составления. Учащиеся от таблицы к таблице проявляют больше самостоятельности в их составлении. Каждая новая таблица начинается со случая умножения двух одинаковых множителей, так как предыдущие случаи умножения уже известны. На это обстоятельство следует обратить особое внимание. В сводной таблице всего 36 случаев.

Таблица заучивается наизусть. Знание доводится до автоматизма. Тренировочные упражнения по заучиванию таблицы должны включать задания практического содержания, при этом должен использоваться занимательный, игровой материал.

Целесообразны следующие упражнения:

г) Особые случаи умножения. В таблице умножения не содержится таблицы умножения числа 1 и на число 1, числа 0 и на число числа 0, 10 и на число 10. Эти случаи рассматриваются отдельно и в методике их называют особые случаи. Умножение числа 1 и на число 1. Рассмотрим 1 ∙ 5. Это задание можно выполнить на основе конкретного смысла умножения. Что показывает число 1? (какое слагаемое) Что показывает число 5? (сколько раз взяли) 1 ∙

5 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 1 ∙ 5 = 5

При выполнении нескольких случаев вывод: при умножении единицы получается число, на которое умножали.

5 ∙ 1 нельзя выполнить на основе конкретного смысла, т.к. нет суммы состоящей из одного слагаемого, поэтому программу (учебника Моро) рекомендуется детям запомнить.

При умножении любого числа на 1, получается это же число. Следовательно

5 ∙ 1 = 5.

Умножение числа 0 и на число 0. Аналогично изучается следующая группа особых случаев:

0 ∙ 5 = 0 + 0 + 0 + 0 + 0 0 ∙ 5 = 0 0 ∙ а = 0

5 ∙ 0 Запомни! 5 ∙ 0 = 0 а ∙ 0 = 0

Умножение числа 10 и на число 10. В данном случае используется соотношение между разрядными единицами

10 ед. = 1 дес.

Случай умножения числа 10 на 3:

• 1 дес. ∙ 3 = 3дес. 10 это 1 десяток, 1 десяток умножим, на 3 получим
• 3 дес. = 30 3 десятка или 30, значит 10 ∙ 3 = 30
• 3 ∙ 10 можно изучить на основе переместительного закона умножения. Удобнее большее число умножат на меньшее.

Правило: При умножении числа на 10, справа к числу приписывается 0.

Внетабличные приемы. Все остальные случаи, которые не являются табличными, называются внетабличными приемами, они подразделяются на 2 группы: устные и письменные. Устные внетабличные приемы. Сначала изучают устные внетабличные приемы в концентре «сотня». Эти приемы служат основой изучения внетабличных приемов умножения в концентрах «тысяча» и «многозначные числа». Эти устные приемы делятся на следующие виды: 1.Умножение двузначного числа на однозначное.

Последовательность изучения первого приема:

1. Умножение круглых десятков на число в пределах 100 (сводится к табличному) 30 ∙ 2 = 60

3 дес. ∙ 2 = 6 дес.
6 дес. = 60

2. Правило умножения суммы на число (распределительный закон). Изучается на примере небольших чисел в пределах первого десятка. Вводится с целью рационализации вычислений, на основе приема изучаются другие приемы умножения. По Море его смысл раскрывается через текстовые (составные) задачи. Например: Купили 2 чайные чашки по 3 рубля и 2 блюдца по 1 рублю. Сколько уплатили денег за покупку? Рассмотри различные способы решения этой задачи и объясни каждый из них.

(3 + 1) ∙ 2 = 4 ∙ 2 = 6(р.) 3 ∙ 2 + 1 ∙ 2 = 6 + 2 = 6(р.)

В результате объяснения учащимся способов решения задачи выясняется различные способы умножения суммы на число:

• найдем сумму, потом умножаем полученный результат на число;
• каждое слагаемое суммы умножаем на число и полученные результаты складываем.

Следует отметить, что учащиеся зачастую смешивают распределительное свойство умножения относительно сложения с ранее изученными свойствами сложения.

26 ∙ 3 = ( 20 + 6 ) ∙ 3 = 20 ∙ 3 + 6 ∙ 3 = 60 + 18 = 78

1 этап. Двузначное число заменяем суммой разрядных слагаемых.

2 этап. Применяем правило умножение сумы двух слагаемых на число (распределительный закон умножения относительно сложения).

3 этап. Круглые десятки умножаем на число ( 20 ∙ 3 ).

4 этап. Выполняем табличное умножение ( 6 ∙ 3 ).

5 этап. Складываем полученные произведения.

Важно! Своевременно научить детей сокращать объяснения: 20 умножить на 3, получится 60; 6 умножить на 3, получится 18; К 60 прибавить 18, получится 78. В случае затруднения можно опять пользоваться подробным пояснением.

Последовательность изучения второго приема (умножение однозначного числа на двузначное).

1. Умножение однозначного числа на круглые десятки ( 3 ∙ 20 ) на основе переместительного закона 3 ∙ 20 = 20 ∙ 3.

2. Умножение однозначного числа на двузначное:

• Умножение на основе переместительного закона 3 ∙ 26 = 26 ∙ 3
• Правило умножения числа на сумму 3 ∙ 26 = 3 ∙( 20 + 6 )

Концентр «Тысяча»

1. Умножение круглых сотен на однозначное число ( сводится к табличным)

300 ∙ 2 = 600
3сот. ∙ 2 = 6 сот.
6 сот. = 600

2. Умножение круглых десятков на однозначное число (сводится к приему умножения двузначного числа на однозначное).

260 ∙ 3 = ( 200 + 60 ) ∙ 3 = 200 ∙ 3 + 60 ∙ 3 = 600 + 180 = 780
213 ∙ 2 = ( 200 + 10 + 3 ) ∙ 3 = 200 ∙ 2 + 10 ∙ 2 + 3 ∙ 2 = 400 + 20 + 6 = 426

Концентр «Многозначные числа».

1. Умножение круглых тысяч на однозначное число (сводится к табличным)

3000 ∙ 7 = 21000
3 тыс. ∙ 7 = 21 тыс.
21 тыс. = 21000

2. Умножение чисел двух классов без перехода через тысячу (сводится к умножению двузначного на однозначное).

1200 ∙ 3 = 3600

3. Умножение с переходом через тысячу. 1500 ∙ 4 = 6000

1.Начинают изучение с умножения трехзначного числа на однозначное. Сначала учащимся показывается применение этого приема в устных вычислениях, затем изучают на этих же примерах письменные примеры.

213 ∙ 2 = ( 200 + 10 + 3 ) ∙ 3 = 200 ∙ 2 + 10 ∙ 2 + 3 ∙ 2 = 400 + 20 + 6 = 426

Заменим трехзначный множитель суммой разрядных слагаемых. При изучении этого приема необходимо обобщить правило умножения суммы на число на случай когда слагаемых три (и более).

273 ∙ 2 = ( 200 + 70 + 3 ) ∙ 2 = 400 + 140 + 6 = 546

Показывается, что не всегда легко умножить трехзначное число на однозначное устно. Удобнее это умножение выполнить письменно, т.е. в столбик.

Показывается алгоритм записи. Умножением на однозначное число потому подписываем под единицами первого множителя. При устном выполнении приема начинаем умножение с высших разрядов (сначала сотни, десятки, единицы), при письменном выполнение начинаем с низших разрядов (единицы). Если усвоение идет трудно можно использовать для объяснения промежуточную запись:

Учитель должен тщательно следить за правильностью выполнения записей, так как от этого во многом зависит усвоение общего правила умножения многозначных чисел. Необходимо также следить за правильностью пояснений при выполнении письменного умножения:

По 3 единицы 2 раза -6 единиц. По 7 десятков 2 раза – 14 десятков, 4 десятка пишем, а одна сотня в уме. По 2 сотни 2 раза – сотни, да одна сотня в уме – сотен. Всего 546. В дальнейшем нужно переходить к краткому пояснению. Трижды два – шесть. Семью два -14, 4 пишем, 1 в уме. Дважды два – 4, да 1 в уме, 5. Всего 546.

Этот алгоритм действует и для случаев умножения чисел оканчивающихся нулями.

Но для того, чтобы не выполнять лишних операций, связанных с умножением нуля на число, принята следующая запись: