Метод статистических испытаний

Одним из наиболее распространенных численных методов решения математических задач является метод статистических испытаний (иначе метод Монте-Карло). Он основан на моделировании случайных величин (или процессов) с последующим построением статистических оценок для искомых величин. Такой метод достаточно универсален, так как может использоваться для решения задач, совершенно не связанных со случайностью.

Единичный случайный результат, рассматриваемый изолированно, практически не несет информации, но большое число таких результатов становится искусственно полученным статистическим материалом, отображающим изучаемые закономерности. Причем это отображение будет тем точнее, чем больше результатов. В методе Монте-Карло для определения неизвестной величины a подыскивается случайная величина X с математическим ожиданием a.

В более сложных случаях отыскивается та или иная функция от случайной величины, функция нескольких случайных величин и т. д. Принцип использования случайных величин можно проиллюстрировать на простом примере определения числа π.

На рис. 8.3, а показан квадрат со стороной r, в который вписана четверть круга (квадрант) радиусом тоже r. Отношение незакрашенной (светлой) площади (r2/4) к площади квадрата (r2) равно

Это отношение, а следовательно, и число π можно приближенно получить, нанося случайным образом точки на изображенный квадрат и определяя долю точек, попадающих в светлую зону (рис. 8.3, б). Естественно, что вероятность попадания точек на любой участок изображенного квадрата должна быть одинакова, а число точек достаточно велико. На рис. 8.3, б общее число точек, попавших в квадрат (за пределами квадрата точки не считаются), составило 76, причем в светлую зону попало 58 точек.

При увеличении числа точек результат расчета будет постепенно приближаться к истинному значению π = 3,14159265358 … При нескольких тысячах точек за первые три цифры вполне можно будет ручаться. Случайность попадания в светлую или темную зоны может быть обеспечена самыми разнообразными способами, начиная с разбрасывания на листе бумаги мелких крупинок (особенно если выполнять это с завязанными глазами) и кончая использованием генерированных компьютером случайных (псевдослучайных) чисел.

Случайность выбора исходных данных обеспечивается с помощью специальных компьютерных программ, генерирующих случайные числа. Строго говоря, получаемые в этом случае случайные числа таковыми не являются, но они отличаются от «истинных» случайных чисел очень мало.

Математики называют такие числа, генерируемые компьютерными программами, псевдослучайными.