Математическая теория игр

Теория игрисследует оптимальные стратегии в ситуациях игрового характера. К ним относятся ситуации, связанные с выбором наивыгоднейших производственных решений системы научных и хозяйственных экспериментов, с организацией статистического контроля, хозяйственных взаимоотношений между предприятиями промышленности и других отраслей. Формализуя конфликтные ситуации математически, их можно представить как игру двух, трех и т. д. игроков, каждый из которых преследует цель максимизации своей выгоды, своего выигрыша за счет другого.

Важным элементом в условии задач является стратегия, т. е. совокупность правил, которые в зависимости от ситуации в игре определяют однозначный выбор данного игрока. Количество стратегий у каждого игрока может быть конечным и бесконечным, отсюда и игры подразделяются на конечные и бесконечные.

При исследовании конечной игры задаются матрицы выигрышей, а бесконечной функции выигрышей. Для решения задач применяются алгебраические методы, основанные на системе линейных уравнений и неравенств, итерационные методы, а также сведение задачи к некоторой системе дифференциальных уравнений.

На промышленных предприятиях теория игр может использоваться для выбора оптимальных решений, например при создании рациональных запасов сырья, материалов, полуфабрикатов, в вопросах качества продукции и других экономических ситуациях.

В машиностроительном производстве противоборствующими направлениями являются стремление к максимальной экономии металла в конструкциях, с одной стороны, и обеспечение необходимой прочности конструкций – с другой.

В сельском хозяйстве теория игр может применяться при решении экономических задач, в которых оппозиционной силой выступает природа, и когда вероятность наступления тех или иных событий многовариантна или неизвестна.

Природные условия нередко сказываются и на эффективности работы промышленных предприятий. Возьмем для примера швейную фабрику, выпускающую детские платья и костюмы, сбыт которых зависит от состояния погоды (предприятие реализует свою продукцию, допустим, через фирменный магазин).

Затраты фабрики в течение апреля – мая на единицу продукции составили: платья – 8 денежных единиц, костюмы – 27 а цена реализации равняется соответственно 16 и 48. По данным наблюдений за прошлое время, фабрика может реализовать в течение этих месяцев в условиях теплой погоды 600 костюмов и 1975 платьев, а при прохладной погоде – 625 платьев и 1000 костюмов.

Задача заключается в максимизации средней величины дохода от реализации выпущенной продукции с учетом капризов погоды. Фабрика располагает в этих ситуациях двумя следующими стратегиями: в расчете на теплую погоду (стратегия А); в расчете на холодную погоду (стратегия В).

Если предприятие примет стратегию А, т. е. продукция, соответствующая теплой погоде (стратегия природы – С), будет полностью реализована, то доход фабрики в этой ситуации составит:

Если продажа осуществляется в условиях прохладной погоды (стратегия природы — Д), то костюмы будут проданы полностью, а платья только в количестве 625 шт. Доход предприятия в данном случае составит:

Аналогично определим доход предприятия в случае применения им стратегии В. Для условий теплой погоды доход фабрики определится в сумме:

Применение той же стратегии, но в условиях холодной погоды, приведет к другим результатам:

Рассматривая предприятие и природу (Р2) в качестве двух игроков, получим так называемую платежную матрицу следующего вида (табл. 6.11).

Из платежной матрицы видно, что игрок Р1 (предприятие) никогда не получит дохода меньше 6800. Но если погодные условия совпадут с выбранной стратегией, то выручка (выигрыш) предприятия будет составлять 26 000 или 28 400.

Если игрок Р, будет постоянно применять стратегию А, а игрок Р2 — стратегию Д, то выигрыш снизится до 6800. То же самое произойдет, если игрок Рх будет постоянно применять стратегию В, а игрок Р2 стратегию С. Отсюда вывод, что наибольший доход предприятие обеспечит, если будет попеременно применять то стратегию А, то стратегию В.

Такая стратегия называется смешанной, а ее элементы (А и В) — чистыми стратегиями.
Оптимизация смешанной стратегии позволит игроку всегда получать среднее значение выигрыша независимо от стратегии игрока Р2. Для иллюстрации этого продолжим: начатый пример.

Обозначим частоту применения игроком Рх стратегии А через х, тогда частота применения им стратегии В будет равна (1 — х). Если игрок Pj применяет оптимальную смешанную стратегию, то и при стратегии С (теплая погода), и при стратегии Д (холодная погода) игрока Р2 он должен получить одинаковый средний доход:

Действительно, при стратегии С игрока Р2 средний доход предприятия составит:

Следовательно, игрок Рх, применяя чистые стратегии А и В в соотношении 8:9, будет иметь оптимальную смешанную стратегию, обеспечивающую ему в любом случае средний доход в сумме 16 965, т. е. средний платеж, равный 16 965 единицам. Средний платеж, который получается при реализации оптимальной стратегии, называется ценой игры.