Принципы симметрии и законы сохранения

Как известно, в физике имеется целый ряд законов сохранения, согласно которым численные значения некоторых физических величин не изменяются с течением времени при различных процессах.

Например, закон сохранения энергии, закон сохранения количества движения, закон сохранения импульса, закон сохранения электрического заряда.

Законы сохранения в физике играют особую роль. Они отражают стабильность природы. Поэтому принципиально важным является знание причин появления в физике этих законов.

В математике известен целый ряд так называемых инвариантных преобразований. Например, в механике — преобразования Галилея, в электродинамике — преобразования Лоренца, в результате которых сохраняются законы механики Ньютона, а в электродинамике сохраняется вид уравнений Максвелла в различных инерциальных системах координат.

Во всех перечисленных случаях — в различного рода процессах в физике или в математических преобразованиях — некоторые величины или параметры остаются неизменными. Оказывается, что всем таким законам в физике или преобразованиям в математике соответствует некоторая симметрия.

В то же время установление некоторой симметрии в физике и математике ведет к установлению новых законов сохранения или инвариантных преобразований.

Поэтому выявление и установление симметрии являются одной из наиболее эффективных методологических основ открытия новых законов сохранения в природе. Особенно успешно такой путь познания законов сохранения используется в области изучения физики микромира, физики элементарных частиц, где исследования прямыми методами затруднены в силу малости физического объекта.

Часто проводятся параллели: симметрия и уравновешенность, симметрия и гармония, симметрия и совершенство.

Согласно современным представлениям, симметричным называется такой предмет, который можно как-то изменять, получая в результате то же, с чего начали. Таким образом, симметрия предполагает неизменность объекта (каких-то свойств объекта) по отношению к каким-нибудь преобразованиям, операциям, выполняемым над объектом.

Подчеркнем: инвариантность существует не сама по себе, не вообще, а лишь по отношению к определенным преобразованиям. С другой стороны, изменение (преобразование) представляют интерес постольку, поскольку что-то при этом сохраняется. Иными словами, без изменений не имеет смысла рассматривать сохранение, равно как без сохранения исчезает интерес к изменениям.

Симметрия выражает сохранение какого-либо свойства при каких-то измененияхили, иначе, сохранение чего-то, несмотря на изменения. Таким образом, понятие симметрии основывается на диалектике сохранения и изменения. В физике общепринято выделять две формы симметрии: геометрическую и динамическую.

Симметрию, выражающую свойства пространства и времени, относят к геометрической форме. Примерами геометрической симметрии являются однородность пространства и времени, изотропность пространства, пространственная четность, эквивалентность инерциальных систем отсчета.

Симметрию, непосредственно не связанную со свойствами пространства и времени, выражающую свойства определенных физических взаимодействий, относят к динамической форме. Примером динамической симметрии является симметрия электрического заряда.

Вообще говоря, к динамической симметрии относят симметрию внутренних свойств объектов и процессов. Так что геометрическую и динамическую симметрию можно рассматривать как внешнюю и внутреннюю симметрию.

Зеркальной называют симметрию, имеющую плоскость, линию или временной раздел двух совершенно одинаковых частей одного целого. Пример — крылья бабочки.

Поворотная симметрия предполагает наличие некоторого центра, относительно которого происходит многократный поворот одного и того же структурного фрагмента. В зависимости от повторяющегося кругового сектора α (в угловых градусах) определяется порядок поворотной симметрии “n”. Например, для снежинки с сектором α = 60° порядок поворотной симметрии n = 6.

Трансляционной симметрией называется многократное повторение одного и того же фрагмента структуры в пространстве или во времени. Примером трансляционной симметрии может служить любой орнамент.

Примером симметрии в неживой природе являются кристаллические структуры твердых тел. В 1890 г. русский ученый Е. С. Федоров (1853–1919 гг.) описал все возможные сочетания элементов в пространстве, причем доказал, что таких пространственных групп симметрии 230.

Используя математический аппарат, Федоров как бы “пересчитал” все возможные пространственные решетки задолго до того, как с помощью рентгеноструктурного анализа была подтверждена истинность этих расчетов.

Особое внимание к вопросам симметрии было привлечено после того, как немецкий математик Амалия Эмми Нетер (1882–1935 гг.) сформулировала 1918 г. фундаментальную теорему теоретической физики, установившую связь между симметрией свободного пространства, симметрией времени и законами сохранения в механике.

Пространство можно считать свободным, если вблизи нет тел большой массы. Таким является пространство на значительном расстоянии от Земли и других планет и звезд.

Важным свойством свободного пространства являются однородность и изотропность. Под однородностью пространства понимают тот факт, что в этом пространстве нет особых точек, обладающих особыми свойствами. Из однородности пространства вытекает закон сохранения импульса. Из изотропности пространства вытекает закон сохранения момента импульса.

Важным подтверждением универсальной значимости законов сохранения является то, что они вытекают из самых общих представлений о симметрии, с одной стороны, и из законов движения и взаимодействий — с другой.

В частности, А. Э. Нетер при доказательстве своей знаменитой теоремы провела исследование широко используемого в аналитической механике интеграла действия S = ∫L(q,q&, t)dt, где L(q,q&, t) — функция Лагранжа, с помощью которой описывается некоторая система; q, q&, t — соответственно обобщенные координаты, скорости (импульсы) и время.

В соответствии с вариационным принципом действие S имеет экстремум вблизи истинной траектории, вариация действия вдоль истинной траектории остается неизменной, т. е. dS = 0. Вариации действия S зависят от вариации времени t и вариации координат q.

Аналогично выводится закон сохранения момента количества движения.

Кроме того, во всех процессах, происходящих в мире элементарных частиц, выполняется также закон сохранения электрического заряда. Принцип симметрии, лежащий в основе этого закона сохранения, оказывается более тонким, нежели рассмотренная выше симметрия физических законов относительно пространственно-временных преобразований, выражающихся в виде законов сохранения энергии, импульса, момента импульса.

Закон сохранения электрического заряда является следствием так называемой калибровочной инвариантности. Калибровочная инвариантность — один из важнейших принципов теории поля.

Можно сказать, что если записать интеграл действия S для системы “заряд — поле” и провести калибровочное преобразование, то действие остается неизменным, а вариация действия будет равна нулю, если заряд равен постоянной величине.

Инвариантность действия при преобразовании калибровки будет иметь место при условии сохранения заряда, т. е. симметрия калибровочного преобразования полей напрямую связана с законом сохранения заряда. Эта общая закономерность справедлива для полей любого характера.

Исследование реакций с участием элементарных частиц и античастиц и процессов их распада привело к открытию некоторых новых свойств симметрии, в том числе симметрии относительно зарядового сопряжения.

Если в уравнении какой-либо реакции каждую частицу заменить на античастицу, то получится уравнение, описывающее новую реакцию. Эта операция называется зарядовым сопряжением.

Еще большее значение симметрия играет в квантовой механике. Если здесь установлен принцип какой-либо симметрии, то он всегда позволяет вывести соответствующий закон сохранения.

Возникает вопрос: почему симметрия играет такую исключительную роль в установлении законов сохранения, какое значение она играет в отражении свойств самой природы? Для ответа надо обратиться к истории изучения вопроса о симметрии в природе.

На протяжении тысячелетий в ходе общественной практики и познания законов объективной действительности человечество накопило многочисленные данные, свидетельствующие о наличии в окружающем мире двух тенденций: с одной стороны, строгой упорядоченности, гармонии, а с другой — их нарушения.

Пристальное внимание уделяли симметрии Пифагор и его ученики.

Пифагорейцы признавали число сущностью всего окружающего нас мира. Они сводили познание мира к познанию “управляющих им чисел”. Исходя из учения о числе, пифагорейцы дали первую математическую трактовку гармонии, симметрии, которая не потеряла своего значения и в наши дни.

Взгляды Пифагора и его школы получили дальнейшее развитие в платоновском учении о познании. Особый интерес представляют взгляды Платона на строение мира, который, по его утверждению, состоит из правильных многоугольников, обладающих идеальной симметрией.

Среди более поздних естествоиспытателей-философов, занимавшихся разработкой категории симметрии, следует назвать Р. Декарта и Герберта Спенсера (1820–1903 гг.).

Таким образом, по Декарту, Бог, создав асимметричные тела, придал им “естественное” круговое движение, в результате которого они совершенствовались в тела симметричные.

Вопросы симметрии особенно подробно рассмотрены Г. Спенсером в связи с обобщением данных биологии, в частности, морфологии растений и животных. Показывая степень усложнения и изменения симметрии, Спенсер приходит к выводу, что изменение находится в причинной зависимости от симметричности или асимметричности условий окружающей среды.

Наиболее полно вопросы симметрии для неживой природы рассмотрены в кристаллографии. Совершенство внешней формы кристаллов давно обратило на себя внимание естествоиспытателей и философов.

По мере накопления знаний о природе усиливалось стремление найти причины, порождающие те или иные явления в окружающем мире. В числе других вопросов изучалась и симметрия кристаллов.

Но прошло много веков, прежде чем в 1783 г. французский ученый Жан Батист Ромеде-Лиль (1736–1790 гг.) открыл один из важнейших законов кристаллографии – закон постоянства двугранных углов в кристаллах.

Закон гласит: углы между соответственными гранями во всех кристаллах одного и того же вещества являются постоянными. Здесь очень важно отметить, что Роме-де-Лиль, исходя из учения об углах единичных кристаллов, поднялся до уровня высокого научного обобщения, распространив закон постоянства углов на кристаллы всех веществ.

Другой французский ученый, Рене Жюст Гаюи (1743–1822 гг.), продолжил работы Роме-де-Лиля и установил еще один важный закон — закон целых чисел. В отличие от Роме-де-Лиля, который считал, что природа скрыла от нас внутреннюю сущность кристаллов, Гаюи для объяснения сущности закона целых чисел создал теорию внутреннего строения кристаллов из многогранных молекул.

Опираясь на опытный факт, заключающийся в том, что при дроблении кристалла, например каменной соли, его осколки имеют правильную форму параллелепипедов, он пришел к выводу, что молекулы каменной соли должны иметь такую же форму. Идея о молекулярном строении вещества была основой открытого им закона целых чисел и получила опытное подтверждение.

В 1819 г. Эйльхардом Мичерлихом (1794–1863 гг.) было обнаружено, что близкие по составу вещества кристаллизуются в одинаковых формах, которые им были названы изоморфными, то есть “равноформенными”.

Тремя годами позже Э. Мичерлих открыл явление полиморфизма, заключающееся в том, что некоторые вещества в различных условиях способны образовывать разные по симметрии и форме кристаллы. Хорошо известно, что углерод имеет две кристаллические формы — графит и алмаз.

Графит черного цвета, хорошо проводит электрический ток, алмаз прозрачен, электрический ток не проводит. Алмаз — самый твердый из природных веществ, а графит — один из самых мягких минералов.

Одно из основных свойств кристаллов — это анизотропия (разносвойственность), то есть изменение свойств в зависимости от направления. Вместе с тем кристаллы — тела однородные.

Это означает, что два участка кристалла одинаковой формы и одинаковой ориентировки одинаковы по своим свойствам. Одни и те же по составу и форме молекулы могут быть “упакованы” в кристалле разными способами, и от этого зависят физико-химические свойства вещества.

В 1813 г. английскийученый Уильям Волластон (1766–1828 гг.) выступил с идеей шарообразных молекул, которые в пределе изображались как математические точки. Упорядоченное расположение этих точек в пространстве привело к возникновению понятия пространственной кристаллической решетки, понятия симметрии решеток.

Решетка кристалла — понятие такого же типа, как и понятие элемента симметрии, с которым мы имеем дело при изучении, скажем, внешней формы кристалла. Эта математическая абстракция дает возможность описывать периодичность кристаллической структуры.

Следовательно, структура означает конкретное расположение материальных частиц в кристалле, а кристаллическая решетка — это только математический образ этой структуры.

Симметрия проявляется во внешней форме кристаллов, в физических явлениях, протекающих в них, во взаимодействии кристаллов с окружающей средой, в изменениях, претерпеваемых кристаллами под влиянием внешних воздействий.

Но законы симметрии относятся не только к внешней форме кристаллов, им подчинено и их внутреннее строение. Внешняя форма — это проявление внутреннего строения кристаллов.

Внутреннее строение кристалла дает значительно большее разнообразие элементов симметрии, чем его внешняя форма. Это нашло свое отражение в выведенных Е. С. Федоровым всех возможных сочетаниях элементов симметрии в пространстве.

Он “проинвентаризировал” все существующие пространственные решетки задолго до того, как появился рентгеноструктурный анализ, который подтвердил истинность этих расчетов.

Большой вклад в кристаллографию и особенно в учение о симметрии внес Пьер Кюри (1859–1906 гг.).

Пьер Кюри очень интересовался физикой кристаллов. Его теоретические и экспериментальные исследования в этой области группировались вокруг общего принципа — принципа симметрии.

Реальные кристаллы, из которых практически состоит вся неживая природа, представляют собой такое сочетание элементов (атомов, молекул, ионов), которое можно охарактеризовать как динамическое единство порядка и беспорядка, симметрии и асимметрии.

Характерно, что к наиболее интересным результатам наука приходила именно тогда, когда устанавливала факты нарушения симметрии. Эту линию можно проследить, например, в астрономических наблюдениях.

Галилей считал, что планеты совершают свой путь по естественным круговым орбитам. Нарушение аксиальной симметрии путей планет, открытое Кеплером, привело к созданию классической механики.

Понятие о простейшей симметрии (изотропности и однородности пространства) появились на заре человеческого познания.

Инвариантность законов механики при переходе к равномерно движущейся системе координат (известная также как инвариантность относительно преобразования Галилея) можно считать примером первого по сложности вида симметрии.

Эта симметрия — один из исходных принципов ньютоновской механики. Следствия, вытекающие их этого принципа симметрии, изучались физиками в прошлом веке и привели к ряду важных результатов.

Такими следствиями законов симметрии являются прежде всего законы сохранения классической физики.

Создание специальной и общей теории относительности привело к тому, что законы симметрии приобрели новое значение: связь между законами симметрии и динамическими законами физики оказалась значительно более тесной и взаимоопределяющей, чем в классической механике.

До появления квантовой механики принципы симметрии были распространены в физике не очень широко. Но теперь их значение резко возросло. Квантовые числа, которые характеризуют состояние системы, часто совпадают с числами, определяющими симметрию системы.

Приведем пример: существование античастиц, а именно позитрона, антипротона и антинейтрона, теоретически предсказывалось как следствие инвариантности физических законов по отношению к преобразованию Лоренца.

Понятия симметрии и асимметрии, которыми пользуются частные науки, далеко не полно отражают существующую в реальном мире симметрию и асимметрию; они развиваются и обобщаются. Как показывает история науки — это понятия, с помощью которых можно объяснить многие явления и предсказывать существование новых, еще не познанных свойств природы.

Таким образом, не при помощи идеи симметрии устанавливается порядок “созидания”, а сами симметрия и асимметрия есть отражение объективных свойств материального мира.

В специальных исследованиях по физике и в других отраслях знания встречаются различные определения симметрии, общий смысл которых, как мы уже указывали, можно свести к понятию соразмерности, гармонии, там же употребляются и понятия антисимметрии, асимметрии, дисимметрии, общий смысл которых — нарушение симметрии.

Под асимметрией же обычно понимают отсутствие признаков симметрии — беспорядок, несоразмерность, неоднородность и т. д. Все признаки симметрии в такого рода ее определениях, естественно, рассматриваются равноправными, одинаково существенными, и в отдельных конкретных случаях при установлении симметрии какого-то явления можно пользоваться любым из них.

Так, в одних случаях симметрия — это однородность, а в других — соразмерность, и т. д. По мере развития нашего познания к определению симметрии можно прибавлять все новые и новые признаки.

То же самое можно сказать и о существующих в частных науках определениях асимметрии. Это означает, что в определениях понятий, сформулированных по принципу перечисления свойств объектов, ими отражаемых, отсутствует связь между перечисленными свойствами объектов. Такие свойства симметрии, как, например, однородность и соразмерность, друг из друга не следуют, не вытекают.

Другое дело, когда определение основывается на выделении существенных, фундаментальных сторон объекта, к тому же внутренне между собой связанных.

Такие определения дают глубокое понятие о соответствующем объекте. Сказанное, однако, не означает бесполезности вышеуказанных определений симметрии и асимметрии. Наоборот, они весьма полезны и необходимы.

Без них нельзя дать и более общее определение симметрии и асимметрии как категорий познания, так как на базе, если так можно сказать, эмпирических определений симметрии и асимметрии складываются определения более общего характера. Ведь существо общих определений — в соотнесении частных признаков симметрии и асимметрии к определенным всеобщим свойствам движущейся материи.

Понятия симметрии и асимметрии должны быть такими, чтобы под них подошли все известные и даже неизвестные в настоящее время виды симметрии и асимметрии.

Так, в преобразованиях Галилея и Лоренца наряду с признаками симметрии существуют и признаки асимметрии: симметричны все состояния покоя и равномерного прямолинейного движения, но асимметричны состояния покоя и ускоренного движения.

Задача нахождения единства симметрии и асимметрии в каких-то явлениях сводится к нахождению таких групп операций, в которых раскрывается как тождественное в различном, так и различное в тождественном.

Отсюда следует, что прежде чем поставить задачу нахождения симметрии в данном явлении или совокупности явлений по отношению к каким-то группам операций, необходимо установить различия между сторонами данного явления или между всеми явлениями.

Если же имеется совокупность абсолютно тождественных явлений, то никакой симметрии здесь по отношению к любой группе операции быть не может.

Значит, прежде чем искать симметрию, нужно найти асимметрию. Верным будет и обратное утверждение. Прежде чем была установлена симметрия протонов и нейтронов по отношению к сильным взаимодействиям, было найдено различие между ними, их определенная асимметричность.

Частицы и античастицы асимметричны потому, что между ними есть тождественные моменты, в силу чего они и являются зеркальными отражениями друг друга. Значит, единство симметрии и асимметрии заключается в том, что они предшествуют одна другой.

Эта черта противоречивого единства симметрии и асимметрии ярко проявляется в развитии нашего познания.

В историческом развитии физики почти одновременно возникли две взаимоисключающие оптические теории: волновая и корпускулярная. И в течение длительного времени оптика была явно асимметричной.

В дальнейшем же было обнаружено, что корпускулярный и волновой аспекты оптических явлений во многом эквиваленты друг другу, заключают в себе тождественные моменты и значит, по отношению друг к другу во многом симметричны.

В электромагнитной теории и сейчас есть ярко выраженная асимметричность, связанная с тем, что противоположные электрические заряды существуют самостоятельно, а противоположные магнитные полюса только вместе, хотя электрические и магнитные поля полностью симметричны.

Происходящие уже многие годы поиски магнитного монополя, предсказанного П. Дираком, по существу, являются поисками симметрии между электрическими зарядами и магнитными полюсами.

И, наконец, отметим, что симметрия покоя и равномерного прямолинейного движения была установлена на основе их противоположности. Таким образом, единство симметрии и асимметрии нужно рассматривать как всеобщее явление, присущее объективной действительности.

В свою очередь, категории симметрии и асимметрии имеют существенное значение для характеристики других всеобщих категорий нашего познания.

Рассмотрим этот вопрос на примере категории закона. Каждый закон выражает какой-то порядок, какую-то регулярность в пространственном расположении явлений и их следовании друг за другом во времени.

Закон выражает и какую-то однородность, присущую различным явлениям и их взаимодействиям. Здесь понятие однородности означает одинаковость их связей, отношений и структур.

Например, у таких различных явлений, как звуковые и электромагнитные волны, есть ряд одинаковых связей и зависимостей: между длиной волн и частотой колебаний, между фазовой и групповой скоростью распространения волн и т. д.

Порядок, или регулярность (что одно и то же), и однородность являются существенными сторонами законов природы. Некоторые исследователи даже склонны считать их главным признаком. В частности, известный физик Юджин Вигнер (1902–1995 гг.) считал, что законами природы называют те регулярности явлений природы, которые пытается раскрыть физика.

Но с регулярностью связан и другой признак — симметрия, стало быть, симметрия также важна, существенна для понимания законов природы.

Законы природы действуют в определенных условиях. В связи с этим возникает вопрос о симметричности законов по отношению к различным условиям.

Симметричность законов по отношению к условиям обязательна. К наиболее общим сторонам условий относятся: место и направление в пространстве, интервалы времени и состояния движения. Опыт показывает, что все места и направления в пространстве, все интервалы времени, все состояния равномерного прямолинейного движения тождественны между собой.

Поэтому в каком бы месте пространства ни находилась система, функционирующая по определенным законам, их действие всюду будет одинаковым. То же нужно сказать о времени, о скоростях равномерного прямолинейного движения и о направлениях в пространстве. Изменение этих параметров в действии законов ничего не меняет — они остаются полностью симметричными.

Выше уже отмечалось, что одна из основ связи между законами — наличие в них симметрии. Следовательно, если понимать асимметрию несколько формально (как отсутствие всех элементов симметрии), то, казалось бы, напрашивается вывод: наличие асимметрии в содержании законов исключает связь между ними. Но это не так.

Во-первых, наличие асимметрии в содержании законов не уничтожает их содержания и не исключает существование симметрии. Во-вторых, асимметрия, как и симметрия, — основа существования связи между законами.

Вот убедительный пример: явная, казалось бы, асимметричность содержания закона возрастания энтропии ни в коей мере не разрывает связи этого закона с законами сохранения и превращения энергии.

Совсем наоборот. Известно, что законы сохранения энергии и импульса содержат в себе взаимную асимметрию: энергия — скаляр, импульс — вектор, но между ними существует глубокая связь, раскрытая теорией относительности.

Итак, повторяем, взаимосвязи между законами обусловлены как симметрией, так и асимметрией. Более того, связь между законами, основанная на существовании в их содержании асимметрии, видимо, даже глубже, чем связь между ними, основанная на симметрии.

Вообще говоря, каждый закон по отношению к каким-то изменениям и условиям асимметричен. Так, законы механики Ньютона асимметричны по отношению к группе преобразований Лоренца.

Закон возрастания энтропии явно асимметричен по отношению к переходам различных видов энергии друг в друга и устанавливает, как известно, преимущественную тенденцию превращения всех видов энергии в тепловую энергию.

Закон Максвелла о распределении скоростей молекул газа устанавливает преобладание скоростей молекул, близких и средней, по отношению к их большим или меньшим скоростям.

Рассмотрим теперь более детально вопрос об асимметричности законов и условий их действия. Такая асимметричность проявляется в том случае, когда в условиях действия законов на первый план выступают не моменты тождества, а моменты различия.

Но можно ли из этого сделать вывод, что по отношению к асимметричным условиям вообще не может быть законов и что законы действуют только при наличии симметричных условий? Нет, нельзя.

Следует признать, что асимметричность условий не исключает существования закономерностей. Асимметричность условий не исключает и инвариантность законов. Обоснованность этого положения в том, что симметрия — не единственный источник инвариантности, что инвариантность законов обеспечивается теми связями, которые входят в их содержание.

Таким образом, изучение связи между симметрией, асимметрией и законом дает возможность более глубоко представить и содержание этих категорий, и их роль в нашем познании.