Модели, применяемые для анализа технологического оборудования

Процедура анализа заключается в исследовании проектируемогообъекта или его описания, направленного на получение полезной информации о свойствах объекта.

Цель анализа – проверка работоспособностей объекта, его экологичности и его сопоставлений с первичным описанием (верификация).

Это осуществляется на основе функционального проектирования, осуществляемого с помощью функциональных математических моделей. Формой математической модели является система уравнений, выражающих связь между фазовыми векторами {V}, величины, характеризующие свойства системы на выходных проектируемого объекта и внешними {Q}, (характеризуют состояние внешней по отношению к объекту внешней среды) и независимыми параметрами {Z}.

Решением системы уравнений f({V},{Q},{Z})=0 является определение выходных параметров и их оценка.

Для решения системы уравнений f=0 разработаны различные методы, подробный обзор которых приведен в работе.

Выбор того или иного метода при решении контактных задач определяют специальные граничные условия (ограничения).

Граничные условия, формулируемые для технологических контактных задач, определяются геометрическими и физикомеханическими характеристиками стыкуемых тел и их поверхностей и
существенно отличаются от условий, формулируемых для классических конструкционных контактных задач. Для отображения их специфики необходима разработка метода описания контактирующих тел, свойства которых приближаются к свойствам реального прототипа.

Для классических и конструкционных контактных задач эти ограничения выражают условие непроникания, третий закон Ньютона о равенстве действия и противодействия и закон поверхностного трения.

Проекции условий на нормаль предотвращают взаимное проникновение несмешивающихся сред, а касательные проекции представляют трение контактирующих поверхностей.

Моделирование прочностных, жесткостных, тепловых, экологических и других показателей приводит к решению линейных и нелинейных уравнений в частных производных. Существуют традиционные математические средства, позволяющие получить в определенных случаях (анализ Фурье, разложение в ряд и т.д.) , но для решения конкретных проблем, возникающих в науке и технике, невозможно обойтись без использования численных методов.

Разработаны методы численного решения уравнений в частных производных.

Наиболее используемые из них – методы конечных разностей, конечных элементов и метод граничных элементов

Идея метода конечных разностей состоит в разбиении прямоугольной сеткой области, в которой решается уравнение, и дискретизации дифференциального оператора. Решая линейную систему уравнений находят приближенные решения в узлах решетки.

Основные трудности связаны с учетом граничных условий, если граница области имеет сложную геометрическую форму.

В этом отношении МКЭ элементов позволяет учитывать сложные области. Суть метода состоит из дискретизации областей конечными элементами, состыкуемых сторонами и в узлах. Решением линейных уравнений отыскиваются решения в узлах сетки.

Метод граничных элементов получается после аппроксимации по динтегральных функций в интегральных уравнениях отрезками, внутри которых подинтегральная функция сохраняет постоянное значение.

Эти задачи, решаемые математическими методами, относятся к классу задач, известных как краевые задачи.

Для краевых задач характерно наличие некоторой области R, лежащей внутри границы С. Задача в области R моделируются интегро-дифференциальными уравнением в частных производных, решение которых, отыскивается при определенных ограниченных условиях, заданных на границе области.

В краевой задаче в виде граничных условий задаются только части параметров, тогда как остальные отыскиваются в ходе решения задачи. Например, если заданы смещения, то напряжения на границе отыскиваются как часть решения задачи.

Известны два подхода к решению краевых задач, аналитические и численные.

Аналитические решения получаются, когда область R однородная, геометрические и граничные условия на контуре сравнительно просты. Например, контактная задача Г.Герца. Решение как правило, состоит из двух частей. В начале отыскиваются перемещения в полуплоскости, в полу – или четверти пространства от воздействия сосредоточенной силы.

Такое решение хорошо ведет себя в области R, кроме точки приложения силы, где имеет место неопределенность (сингулярность).

Затем, если в теле несколько точек приложения сил, то для отыскания решения результаты воздействия каждой силы суммируется на основе функции влияния.

Для реальных случаев взаимодействия, где геометрия, граничные условия достаточно сложны, область R неоднородна (так называемые конструктивные и технологические (имитационные) контактные задачи), процесс нельзя описать простыми аналитическими зависимостями, используются численные методы, которые можно разделить на два отчетливых класса: класс, который требует аппроксимации всех областей R внутри и на границе С, и класс, который требует аппроксимации только на границы С.

В первый класс входят методы конечных разностей и метод конечных элементов, во второй – метод граничных элементов и полуаналитический метод конечных элементов.

Метод конечных элементов требует, чтобы вся область R была разбита на сетку элементов <е>. При этом цель состоит в отыскании решения задачи в узлах выражается в простой
приближенной форме, через значения в узлах.

Связывая эти приближенные выражения с исходными интегро-дифференциальными уравнения в частных производных; в конечном счете, приходим к системе линейных алгебраических уравнений, в которых неизвестные параметры – узловые значения в R – выражаются через известные величины в узлах сетки, находящиеся на границы сетки или внутри нее.

Получается большая, но разреженная система уравнений. Такая система содержит большое количество неизвестных параметров и, следовательно, большое число линейных уравнений, но каждое уравнение включает в явном виде часть неизвестных параметров.

В методах граничных элементов на элементы разбивается только граница С области. Численные решения строятся на основе полученных аналитических решений для простых сингулярных задач таким образом, чтобы удовлетворить приближенно заданным граничным условиям на каждом элементе <s> контура С.

Поскольку каждое сингулярное решение удовлетворяет в R определяющим интегро- дифференциальным уравнениям в частных производных, в этом случае нет необходимости делить саму область R на сетку элементов.

Система уравнений, подлежащих решению, оказывается значительно меньше, чем система, которую надо делить в той же краевой задаче, если использовать метод конечных элементов, однако, уравнения в этом случае будут неразряженные.

Метод граничных элементов развивается в двух различных направлениях: первое – интуитивный подход, второе – математическая проработка на основе теории потенциалов.

При интуитивном физическом подходе, подобно изложенному выше сначала отыскиваются сингулярности, удовлетворяющие заданным граничным условиям, а затем
через эти решения вычисляются остальные граничные параметры.

В математической модели первый этап исключается путем использования фундаментальных интегральных теорий.

Узнай цену консультации

"Да забей ты на эти дипломы и экзамены!” (дворник Кузьмич)