Угловой портфель

На практике обычно на величины Xi накладывают ограничения. Самое распространенное из них Xi > 0. То есть предполагается, что инвестор не собирается делать эмиссию или брать в долг. Кроме того, возникают ограничения типа: доля любой ценной бумаги в портфеле не должна превышать определенной величины. Система уравнений сохраняет свой вид, но метод решения принципиально меняется.

Обозначим минимальные границы долей Li и максимальные Ui, Тогда в общем случае Li< Xi< Ui . Если для i-той бумаги выполняется условие Li < Xi < Ui ,она имеет внутренний статус. Если Хi = Ui ,— верхний статус, если Хi = Li — нижний статус. Далее нужно определить, каков будет статус ценных бумаг при λ → ∞. Для этого сначала всем ценным бумагам, входящим в портфель, присваивают нижний статус, кроме одной ценной бумаги, у которой максимальная доходность. Для этой бумаги принимают

Если полученная величина не превосходит Vi , то решение для λ → ∞ найдено. Если же полученная величина превосходит Ui , то выбранной бумаге присваивают верхний статус Xi = Ui, выбирают следующую по доходности бумагу и подбирают такое X, чтобы ∑Хi = 1. Эта процедура повторяется до тех пор, пока для всех ценных бумаг не будет найден их статус при λ → ∞. Понятно, что подобного состояния портфель достигнет начиная с некотоpoгo λ*. В этой точке одна или несколько ценных бумаг меняют свой статус. Если таких бумаг несколько, точка λ* называется вырожденной.

Как найти критическую точку? Ценная бумага, меняя статус, может либо из нижней стать внутренней, либо из внутренней — верхней. Соответственно критическая точка λ*

илиЧтобы выяснить, какая именно ценная бумага меняет свой статус, иногда бывает необходимо решить соответствующую систему уравнений не один раз, положив для внутренних ценных бумаг Хi = KI + kiλ, а для верхних и нижних задав их граничные величины. Однозначного алгоритма, тем более для вырожденной точки, Не существует.

Найдя первую критическую точку λсi , движемся по оси λ справа налево, находим следующую и т.д. Число критических точек не определено.

В результате получаем для каждого Xi кусочно-непрерывную ломаную линию. Приведем пример решения для портфеля из тех же бумаг, что и в предыдущем примере, при условии, что Х > 0, 0 < X2 < 0,6 и 0 < X3 < 0,6. Получим следующее решение:

• внутренний статус,

X3= 0,6 — верхний статус; — на отрезке 144 < λ < ∞:

Х1 = 0 — нижний статус,

Х2 = 0,4

• в точке λci = 144 ценная бумага 3 меняет свой статус с верхнего на внутренний:

Х1 = 0 — нижний статус,

X2 = 1 – 0,00417λ — внутренний статус,

X3 = 0,00417λ — внутренний статус;

• точка λc2 = 96 выражена, В ней безрисковая бумага 1 становится внутренней, а бумага 2 приобретает верхний статус;

X1 = 0,55 – 0,00625λ — внутренний статус,

Х2 = 0,6 — верхний статус,

X3 = -0,15 + 0,00625λ — внутренний статус;

• в точке Xc3 = 72 бумага 2 снова меняет свой статус с верхнего на внутренний:

X1 = 1 – 0,0125λ — внутренний статус,

Х2 = 0,0083λ — внутренний статус,

X3 = 0,00417λ— внутренний статус.

Поиск решения в случае углового портфеля может оказаться весьма трудной задачей. К сожалению, именно такие задачи стоят перед составителем портфеля в подавляющем большинстве случаев. Например, различные фонды не имеют права держать в своем портфеле более некоторой наперед заданной доли одной ценной бумаги.