Модели ценообразования опционов

Представьте себе базовый инструмент (акция, облигация, валюта, товар и т. д.), цена которого движется вверх или вниз на 1 тик каждую последующую сделку. Если мы будем измерять возможную стоимость акции через 100 тиков и рассмотрим большое количество вариантов, то обнаружим, что полученное распределение результатов — нормальное. Поведение цены в данном случае будет напоминать падение шарика через доску Галтона.

Такая цена опциона основывается на его ожидаемой стоимости (его арифметическом математическом ожидании) с тем расчетом, что вы не получаете прибыль, покупая или продавая опцион и удерживая его до истечения срока. В этом случае говорят, что опцион справедливо оценен.

Мы не будем углубляться в математику биномиальной модели, а рассмотрим модель фондовых опционов Блэка–Шоулза и модель опционов на фьючерсы Блэка. Вам следует знать, что кроме вышеперечисленных трех моделей есть другие действующие модели ценообразования опционов, которые мы не будем рассмат- ривать, хотя концепции, описанные в этой главе, применимы ко всем моделям ценообразования опционов.

Для более подробного изучения математической основы моделей могу порекомендовать книгу Шелдона Нейтенберга Option Volatility and Pricing Strategies. Математика модели фондовых опционов Блэка– Шоулза и модели опционов на фьючерсы Блэка, которые мы будем рассматривать, взяты из книги Нейтенберга. Тем читателям, которые желают больше узнать о концепции оптимального f и опционах, я советую прочитать фундаментальный труд Нейтенберга.

Давайте обсудим модель ценообразования фондовых опционов Блэка–Шоул- за (далее — модель Блэка–Шоулза). Модель названа в честь ее создателей: Фишера Блэка из Чикагского университета и Мирона Шоулза из MIT; впервые она была описана в 1973 г.

Модель Блэка–Шоулза считается предельной формой биномиальной модели. В биномиальной модели нужно задать число тиков, определяющее движение вверх или вниз, прежде чем будет зафиксировано возможное значение цены. Далее следует небольшая диаграмма, которая поясняет эту мысль:

Текущая цена на первом шаге может пойти в двух направлениях. На втором шаге — в четырех направлениях. В биномиальной модели для расчета справедливой цены опциона вы должны заранее определить, сколько всего периодов использовать.

Модель Блэка–Шоулза считается предельной формой биномиальной модели, так как допускает бесконечное число периодов (в теории), т. е. подразумевает, что эта небольшая диаграмма будет расширяться до бесконечности.

Если вы определите справедливую цену опциона по модели Блэка–Шоулза, то получите тот же ответ, что и в случае с биномиальной моделью, если число периодов, используемых в биномиальной модели, будет стремиться к бесконечности.